Un curioso paradosso
Qual è la struttura del ragionamento di Gödel? C’è un’analogia tra la Critica della ragion pura e il ragionamento di Kant. Gödel fa un ragionamento molto semplice, ch’è simile tra l’altro a quello che fa Kant, però ancora più semplice; in realtà si rifà, addirittura, ai vecchi paradossi dell’antichità; al paradosso del mentitore, per esempio – scoperto da Eubulide di Mileto, nel IV sec. a. C. – dice semplicemente che è impossibile che qualcuno dica io mento, perché la frase io mento dev’essere, per forza, o vera o falsa; ma s’è vera, allora quello che sta dicendo dice io mento è dunque questa frase è falsa e s’è falsa, allora quello che sta dicendo io mento dice una falsità, quindi è vero il contrario dunque la frase è vera. E questo è un paradosso: supporre che la frase sia falsa fa sì che essa sia vera e supporre che sia vera fa sì che essa sia falsa; si entra in un circolo vizioso.
Quello che Gödel fece con una specie di gioco equilibristico, quasi da prestigiatore, di prendere una frase analoga e di tramutarlo non più in un paradosso bensì in un teorema. E la frase di Gödel è: Io non sono dimostrabile. Attenzione! non dire: Io non sono vera, come diceva Eubulide, bensì io non sono dimostrabile; la frase che dice di sé stessa di non essere dimostrabile. Ora, questa frase può essere dimostrabile? Oppure no? Supponiamo che sia dimostrabile; supponiamo che sia dimostrabile in uno dei sistemi ovvi che noi vogliamo avere per la matematica, cioè, sistemi in cui si dimostrino solo cose vere. Se questa frase fosse dimostrabile, poiché il sistema dimostra solo cose vere, sarebbe vera. Ma cosa dice questa frase? Dice: io non sono dimostrabile e allora non potrebbe essere dimostrabile e quindi l’ipotesi che questa frase sia dimostrabile fa sì che essa sia vera, dunque che non sia dimostrabile, dunque l’ipotesi è sbagliata. Allora, se questa frase, se questa affermazione non è dimostrabile, dice di non essere dimostrabile, dunque è vera. Allora abbiamo trovato che la frase io non sono dimostrabile non può essere dimostrabile in un sistema che dimostra solo verità – perché altrimenti sarebbe falsa – e allora non è dimostrabile ma dice di non essere dimostrabile, dunque è vera. Allora, che cosa abbiamo di fronte? Abbiamo un esempio di un’affermazione che è vera e non dimostrabile, dunque un esempio di incompletezza del sistema.
Ora, come mai questo non è vero per la logica? Perché il succo, il nucleo matematico della dimostrazione di Gödel è di far vedere che questa frase che dice di se stessa di non essere dimostrabile, si può trascrivere all’interno della matematica, attraverso un meccanismo che si chiama oggi gödellizzazione – perché prende il nome da lui – un modo per trascrivere queste cose in numeri, quindi attraverso il sistema aritmetico e la si può far diventare una frase del linguaggio aritmetico, dunque della matematica, e quindi questo ragionamento astratto che assomigliava molto appunto ai vecchi paradossi da una parte e ai ragionamenti di Kant dall’altra, diventa un ragionamento matematico; però, per poterlo fare c’è bisogno di avere almeno i numeri nel proprio sistema e questo è il motivo per cui non lo si può fare nella logica, quindi la logica è in qualche modo, difesa – permette di non avere contraddizioni – e questo fa si che Gödel abbia potuto dimostrare nel 1930 il teorema di incompletezza; ma la matematica non appena c’ha un minimo di matematica, non appena c’è un po’ di numeri dentro il sistema, ebbene allora si può riprodurre questo teorema di Gödel e allora ecco che la matematica è incompleta; dunque da una parte – 1930 – la completezza della logica e dall’altra parte – 1931 – l’incompletezza della matematica.

Crediti
 Piergiorgio Odifreddi
 Beautiful Mind
  Kurt Gödel
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Le religioni alla prova del nove  La sola possibilità è di accettare l'esperienza immediata che la coscienza è un singolare di cui non si conosce plurale; che esiste una sola cosa, e ciò che sembra una pluralità non è altro che una serie di aspetti differenti della stessa cosa, prodotta da un'illusione (il maya indiano); la stessa illusione è prodotta da una serie di specchi, e allo stesso modo Gaurisankar e il monte Everest risultano essere la stessa vetta vista da differenti vallate.  Il Vangelo secondo la Scienza